Актуарные расчеты

Моментом зарождения актуарной математики принято считать разработку и использование первых таблиц смертности Эдмундом Галлеем в 1693 г. Наряду с теорией вероятностей, которая является одной из основ современных актуарных и финансовых расчетов, со статистикой и эконометрикой, это – одна из составляющих профессии актуария, которая предполагает также знание экономики и страхового дела, умение работать с информационными системами и наличие известного практического опыта.

Актуарная профессия, которая во многих странах имеет четкое юридическое и организационное оформление, насчитывает более 150 лет. Долгое время существом деятельности актуария считалась экспертиза рисков и неопределенностей, прежде всего – в страховании жизни, но вследствие глубокого взаимопроникновения страхования и финансовых операций она все чаще понимается более широко, а именно как экспертиза финансовой безопасности в страховании и социальном обеспечении. Используя математические методы для постановки, анализа и решения сложных задач в области бизнеса, финансов и социальной сферы, актуарий оценивает риски и вырабатывает обоснованные расчетами страховые и пенсионные схемы.

Одна из задач, которая стоит перед актуарной математикой как прикладной дисциплиной, - это разработка математических моделей, соответствующих национальным и международным юридическим нормам и договорной практике. Основная цель этой работы – изложение актуарных моделей и методов их анализа, а не реальной страховой практики, вариации которой в зависимости от национальных традиций, особенностей законодательства и бухгалтерского учета значительны. Поэтому некоторые из используемых в дальнейшем терминов могут показаться экономисту-практику не вполне точно отражающими отдельные нюансы лексикона страховщиков, бухгалтеров, андеррайтеров и финансовых аналитиков, хотя мы надеемся, что явных противоречий здесь удалось избежать.

Актуарная наука развивалась в то время, когда разрабатывались математические средства (особенно математический анализ и теория вероятностей), накапливались необходимые данные (особенно данные о смертности в форме таблиц смертности), а также осознавались социальные нужды (защитить семьи и коммерческие предприятия от финансовых последствий безвременной смерти). Модели, предложенные в самый момент зарождения актуарной науки, по-прежнему остаются полезными. Однако среда, в которой существует актуарная наука, продолжает изменяться, и периодически в ответ на эти изменения необходимо пересматривать базовые положения этой науки.

Проиллюстрируем эти соображения тремя примерами:

1. Требования, которые современное общество предъявляет к страховой системе, меняются, и в ответ на это разрабатываются новые системы выплат работникам и новые системы социального страхования. Для описания таких систем требуются новые модели, и эти новые модели строятся.
2. Математика также развивается, и некоторые понятия, которых не существовало в момент, когда закладывались основы актуарной науки, входят теперь в общематематическое образование. Если актуарная наука хочет остаться в основном русле прикладных наук, необходимо перестраивать базовые модели, используя язык современной математики.
3. Наконец, как уже отмечалось выше, с развитием быстродействующих компьютеров выросли возможности для работы со сложными моделями. Это приводит к далеко идущим последствиям в отношении уровня допустимой в актуарных моделях сложности.

В настоящей работе уделяется особое внимание тем моделям, которые являются базисными в современной практике актуарных расчетов. Они изучаются средствами, разработанными в математических исследованиях, особенно в области математического анализа и теории вероятностей.

Вероятностный подход

Как указывалось ранее, наибольшее различие между подходом, принятым в настоящей работе, и подходами, принятыми в большинстве предшествующих англоязычных монографий по актуарной математике, состоит в существенно большем использовании вероятностного подхода при изложении математических аспектов страхования жизни.

Актуарии обычно писали и говорили о применении теории вероятностей в своих моделях, но их результаты могли бы быть получены и часто действительно были получены детерминистическими методами. В этой работе рассмотрение задач страхования жизни основано на предположении, что продолжительность предстоящей жизни является случайной величиной с непрерывным распределением. Это позволяет привлекать множество понятий из теории случайных величин, таких, как функция распределения, функция плотности, математическое ожидание, дисперсия и производящая функция моментов.

Этот подход соответствует духу времени, его применение основано на наличии быстродействующих компьютеров и отвечает имеющимся запросам. Он основан на наблюдении, что экономическая роль страхования жизни и пенсионного страхования наилучшим образом просматривается, когда подчеркивается случайная природа продолжительности предстоящей жизни. Помимо этого вероятностные идеи являются в настоящее время частью общематематического образования, и их более глубокая реализация в страховании жизни связывает последнее с другими разделами прикладной теории вероятностей, например, с теорией надежности в инженерном деле.

В дополнение для полноты изложения мы описываем детерминистический подход, который применяется в некоторых случаях. Однако результаты, полученные с применением детерминистических моделей, обычно можно получить, рассматривая математические ожидания в вероятностных моделях.

Связь с теорией риска

Теория риска определяется как исследование отклонений фактических финансовых результатов от ожидаемых и представляет собой совокупность методов предотвращения неблагоприятных последствий этих отклонений. Вероятностный подход к страхованию жизни позволяет встраивать долгосрочные страховые договоры в модели теории риска и по сути превращает теорию страхования жизни в составную часть (но очень важную составную часть) теории риска.

Теория разорения, другой важный раздел теории риска, включается в нее как средство анализа одного из источников неблагоприятных долгосрочных финансовых отклонений – страховых случаев. Этот источник является главнейшим аспектом моделей страховых предприятий.

Теория полезности

Эта книга содержит материал, относящийся к экономике страхования. Его цель – предложить читателю обоснование необходимости изучения актуарных моделей, основанное на нормативной теории индивидуального поведения перед лицом неопределенности. Хотя использованные здесь модели значительно упрощены, они дают представление об экономической роли страхования и о некоторых из проблем, возникающих при принятии решений в вопросах страхования.

Стандартные предположения

Для вычисления актуарных функций для нецелых возрастов мы постоянно пользуемся предположением о равномерности распределения случаев смерти в каждом годичном возрастном интервале. Это устраняет некоторые аномалии, которые отмечались при принятии необоснованных предположений в случае высоких процентных ставок.